Bản chất của toán học (Phần cuối)

d - Cái tính được và cái không thể tính được

Trái với mong đợi của nhiều nhà toán học, câu trả lời lại là không. Cả Alan Turing* ở Cambridge, Emil Post* và Alonzo Church* ở Princeton đều đã chỉ ra rằng có những mệnh đề mà chúng ta có thể mất một lượng thời gian điên rồ, vô tận, trước khi chứng minh được tính chân lý của chúng. Chúng thực sự là sâu sắc hơn thứ lô-gic của lối tính toán bằng những giai đoạn kế tiếp nhau. Cái máy tính lý tưởng mà chúng ta vừa mô tả được gọi là máy Turing; nó là cái không thể vượt qua¹ trong tin học. Nó có một năng lực vô song để giải quyết các vấn đề.

Những thao tác toán học mà máy Turing không thể hoàn tất trong một thời gian hữu hạn được gọi là những cái không thể tính được (incalculables). Chúng ta biết không ít ví dụ trong số đó, và chính sự tồn tại của chúng còn đặt ra nhiều vấn đề thú vị trong vật lý học nữa. Chúng ta không biết liệu Thiên nhiên có chứa trong xương thịt của nó những sự vật không thể tính được hay không. Nếu hoạt động của trí tuệ con người hay hiện tượng ý thức chẳng hạn cũng bao hàm những thao tác không thể tính được, thì chúng ta sẽ không bao giờ thực hiện trí tuệ nhân tạo thành công, nghĩa là chế tạo được một máy tính có khả năng bắt chước trí tuệ con người với tất cả sự phức tạp của nó. Trong chừng mức nào giới hạn này sẽ tác động tới lĩnh vực thực tiễn? Tất nhiên, điều này tùy thuộc vào tầm quan trọng của các khía cạnh không thể tính được cho hoạt động của não bộ con người. Rất ít xác xuất là chúng ta có khả năng giải quyết một vấn đề như vậy vào lúc này.

Hãy quay lại bí ẩn nêu lên từ đầu: “Liệu chúng ta có thể áp dụng toán học vào Tự nhiên chăng?”, và thử đặt lại vấn đề trong ngôn từ của sự tính được hay không. Nếu một thao tác là tính được, thì điều này có nghĩa là chúng ta có thể chế tạo ra một dụng cụ mà cách hành xử bắt chước được thao tác đó. Đây là trường hợp của quả lắc và xung động điện; mặt ngược lại, những cơ chế vật lý như các dụng cụ trên có thể được mô tả chính xác bằng các thao tác toán học tính được. Sự kiện toán học mô tả được Thiên nhiên một cách tốt đẹp tương đương với sự kiện là các thao tác toán học đơn giản nhất, chẳng hạn như phép cộng và phép nhân, và các thao tác phức tạp hơn được sử dụng với hiệu quả cao như vậy trong khoa học, đều là các hàm có thể tính được. Nếu không (nếu chúng là không thể tính được), thì chúng không thể tương đương với bất kỳ quá trình tự nhiên nào, và chúng ta sẽ không phải ngẩn người ra trước lợi ích thực tiễn của toán học như vậy. Ngay cả khi chúng ta công nhận rằng những quá trình này có phẩm chất toán học, ta cũng sẽ không xem toán học là một thứ ngôn ngữ quý giá như vậy để dự đoán hay mô tả sự vận động của thế giới.

Còn gì lý thú hơn là tự hỏi liệu các định luật tự nhiên có chứa hay không những yếu tố không tính được. Nỗ lực tạo ra một lý thuyết lượng tử có thể áp dụng cho toàn bộ Vũ trụ đã mở hé cho ta thấy khả năng này. Thực sự có những thuộc tính của Vũ trụ có tiềm năng quan sát được, và chúng được xác định bởi các tổng vô hạn của những số hạng* (termes) xét toàn bộ là không thể tính được. Không thể đưa chúng vào một phép tính có tính hệ thống, và có khả năng tự động áp dụng cùng những nguyên lý. Để tính được, mỗi yếu tố đòi hỏi sự sử dụng các nguyên lý mới và khác nhau về phẩm chất. Thật không may, chúng ta không biết liệu ta có thể xác định, bằng cách khác nhưng cũng có thể tính được, giá trị của những yếu tố quan sát được này hay không.

e – Sự mã hoá và loại hàm bẫy

Chúng ta đã lập ra một sự phân biệt giữa các thao tác toán học có thể tính được, và các thao tác không thể tính được. Nhưng trong cuộc sống hàng ngày, biết rằng chúng là tính được cũng chẳng có một ích lợi lớn nào, nếu cái chương trình [tin học] chịu trách nhiệm thực hiện những phép tính cần thiết phải sử dụng một triệu năm để kết thúc những vất vả của nó. Thế giới có thể mang tính toán học, và tràn đầy những hàm có thể tính được, sâu sắc, và thông thái. Nhưng ích lợi gì, nếu các máy tính của ta phải mất hàng nghìn năm mới tính ra chúng? Trên thực tế, thế giới hiện đại của ta đang khai thác rộng khắp sự tồn tại của những bài toán rất “khó” giải quyết này. Những mật mã phức tạp nhất, được sử dụng nhằm bảo vệ các loại bí mật quân sự hoặc thương mại, đều dựa trên loại hệ thống mã hóa bất khả xâm phạm trong thực tế này, tuy chúng không thực sự là như thế trên nguyên tắc, bởi vì những máy tính nhanh nhất hiện nay cũng phải bỏ ra hàng nghìn năm để thử tìm cách giải mã chúng. Tất nhiên, lúc đó người ta đã đổi mã từ lâu.

Những mật mã như vậy sử dụng các phép toán gọi là những hàm bẫy, cực kỳ dễ sử dụng theo một nghĩa nào đó nhưng hầu như không thể đảo ngược thứ tự, giống như rơi vào bẫy thì rất dễ, nhưng không dễ gì thoát ra khỏi rọ. Lấy hai số nguyên tố (prime numbers)* rất lớn, mỗi số được tạo thành từ một trăm chữ số, rồi nhân chúng với nhau chẳng hạn. Một máy tính có thể thực hiện thao tác này trong một giây. Nhưng bất kể kết quả là gì, hãy cho một máy tính con số hai trăm chữ số đó, và bảo cỗ máy tìm ra hai số nguyên tố chia hết cho nó: có đủ khó khăn để hoạt động cả một đời. Ví dụ này cho thấy rõ ràng rằng Vũ trụ có thể được đặt dưới một mã toán học mà sự mã hóa phụ thuộc vào các định luật Tự nhiên. Chúng ta thậm chí còn có thể khám phá ra mã này bằng cách chỉ sử dụng các nguyên lý đối xứng (symmetry), mạch lạc (coherence) và đơn giản (simplicity), nhưng thực ra chúng ta sẽ khó áp dụng nó để giải mã ngược lại bản chất thực sự của mọi vật, từ phần ngoại hiện được mã hoá của chúng.

Dưới đây là một minh họa về các chức năng bẫy. Ví dụ đơn giản như lời chào. Tôi muốn gửi cho bạn một tin nhắn bí mật. Để “mã hóa” nó, tôi sử dụng một phương pháp khá thô. Tôi đặt tin nhắn trong một hộp kim loại đóng kín có ổ khóa. Sự “giải mã” nó là mở ổ khóa. Nhưng làm thế nào tôi có thể gửi tin nhắn cho bạn mà không gửi cho bạn chìa khóa, sợ nó có thể rơi vào tay một kẻ xấu đang chực sẵn để đánh cắp nó? Đây có vẻ như điều đã thấy trước là không thể làm được. Vậy mà tôi vẫn sẽ khóa cái hộp lại và gửi nó cho bạn, nhưng vẫn giữ chiếc chìa khóa của tôi trong tay. Bạn chỉ cần đặt thêm một ổ khóa khác lên hộp, khóa nó lại nhưng vẫn giữ chìa khóa của bạn, và gửi lại cho tôi cái hộp với hai móc khóa. Lúc bấy giờ, tôi mới mở ổ khóa tôi đã đặt bằng chiếc chìa của mình, rồi gửi trả bạn cái hộp. Sau đó, bạn có thể mở ổ khóa bạn đặt bằng chìa khóa của mình, và cuối cùng nhận thông báo. Không ai trong chúng ta cần tới chìa khóa của người khác!

Trong cuộc sống hàng ngày, người ta dùng loại mã bằng số thay vì các ổ khóa. Chúng ta phải tiến hành như thế nào? Bạn mã hóa tin nhắn của mình bằng một con số N (được tạo ra từ một chuỗi số bất kỳ), và nhân nó với con số nguyên tố bí mật p (cũng dài chừng vài ba số) của bạn. Bạn nhận được con số Np. Bạn chuyển nó cho tôi, tôi sẽ nhân Np với số nguyên tố bí mật q của tôi, để có kết quả là Npq. Nếu tôi gửi Npq cho bạn, bạn có thể chia nó cho p để lấy Nq, rồi bạn gửi nó lại cho tôi. Tôi sẽ chia Nq cho q, để rút ra N, tức là tin nhắn. Tôi không cần biết p bất cứ lúc nào, và bạn cũng không cần biết q bất kỳ lúc nào. Cứ cho rằng một ai đó chặn được các số mà chúng ta lần hồi chuyển cho nhau, hắn sẽ có trước mắt một con số gồm nhiều chữ số, mà hắn ta sẽ phải tìm ra các số chia (ước số) ban đầu. Can đảm lên, bởi nó có thể cần tới hàng chục, thậm chí hàng trăm năm! Để đối phó với mọi tình huống, chúng ta thỉnh thoảng còn có thể thay đổi các con số p và q của mình. Một ý tưởng hết sức đơn giản và tuyệt vời, chỉ mới được sử dụng khoảng từ hai mươi năm nay.

Chú thích:

(1) “Nec plus ultra”. Thành ngữ La-tinh này có nguồn gốc từ thần thoại Hy Lạp và liên quan tới kỳ công thứ 10 của Heraklēs (La-tinh: Hercules). Trên đường về, để lưu lại vết tích rằng mình đã từng đến tận nơi có vẻ là điểm cuối cùng của thế giới văn minh đương thời – một dải đất lúc đó còn nối liền vùng phía Nam của Tây Ban Nha với phần phía Bắc của châu Phi – Hêraklēs đập mạnh tay xuống đất, mặt đất rung chuyển mạnh, mở ra một eo biển (eo biển Gibraltar) tách rời 2 lục địa Âu – Phi, và làm trồi lên 2 dãy núi (gọi là 2 cột trụ Heraklēs), một ở Âu châu (Rock of Gibraltar) và một bên Phi châu (djebel Musa, Maroc). Heraklēs viết lên đấy cụm từ “nec plus ultra” (“giới hạn không thể vượt qua”), từ đó, 2 cột trụ Heraklēs được xem là biểu trưng của đường ranh giữa 2 thế giới – cái đã biết (Âu châu, Địa Trung Hải), và cái xa lạ (Phi châu, Đại Tây Dương). Từ thế kỷ XVIII, thành ngữ vượt khỏi lĩnh vực địa lý để tiến dần về ý niệm hoàn hảo: cái không thể vượt qua nhất thiết phải là cái tốt nhất, cái hoàn hảo!

Nguồn: Bản chất của toán học (J.D. Barrow, 1991), Viện Giáo Dục IRED, 15-05-2021.